Bài tập đội tuyển thi vòng 2 tỉnh Cà Mau

$\boxed{Bài toán}$ : cho đường tròn tâm (O) và 1 dây cung AB cố định không là đường kính. Một điểm P thay đổi trên cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của AB. Lấy các điểm M,N trên các tia PA,PB tương ứng sao cho $\widehat{PMI}=\widehat{PNI}=\widehat{APB}$
a) Chứng minh đường cao kẻ từ đỉnh P của tam giác PMN đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh đường thẳng Euler của tam giác PMN đi qua 1 điểm cố định 
Lời giải của mình
đặt $MI\cap PA=H, NI\cap PB=G$
a) gọi E là tâm ngoại tiếp của tam giác OAB, ta dễ thấy được là tứ giác MIEG và tứ giác EIHA nội tiếp từ đó suy ra được $\widehat{MGE}=\widehat{NHE}=90^{o}$ suy ra tứ giác PGEH nội tiếp đường tròn đường kính PE
mà do MN đối song GH nên ta suy ra PE vuông góc MN từ đó có đpcm
b) ta dễ thấy rằng trực tâm của tam giác PGH sẽ là tâm ngoại tiếp tam giác PMN.
do đó gọi trực tâm PMN, PGH lần lượt là L,C
đặt $ML\cap PA= R, NL\cap PB=S$ thì ta dễ thấy rằng L,C sẽ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (SGN) và (MRH), mà do tứ giác MNGH nội tiếp nên I cũng thuộc trục đẳng phương này
do đó đường thẳng euler của tam giác PMN luôn đi qua I cố định
p/s: bài toán b thực chất là bài toán về hai trực tâm rất hay được viết trong TLCT 10 

 hình vẽ bài toán