Chứng minh
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt $CD$ tại $K$,định nghĩa tương tự cho điểm $L$
Ta có $IA^2-IC^2=IA^2-KC^2-IK^2=-KC^2$
tương tự $JA^2-JC^2=-JC^2$
mà hiển nhiên $KC=LC$ từ đó suy ra điều phải chứng minh
 |
| hình vẽ bài toán |
Thứ Bảy, 12 tháng 11, 2016
Tứ giác ngoại tiếp part 2
$\boxed{Bài toán}$ Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$, từ $A$ kẻ các đường thẳng vuông góc với $AB,AD$ và cắt $OB,OD$ tại $J,I$. Chứng minh rằng $ IJ \perp AC$
Chứng minh
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt $CD$ tại $K$,định nghĩa tương tự cho điểm $L$
Ta có $IA^2-IC^2=IA^2-KC^2-IK^2=-KC^2$
tương tự $JA^2-JC^2=-JC^2$
mà hiển nhiên $KC=LC$ từ đó suy ra điều phải chứng minh
Chứng minh
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt $CD$ tại $K$,định nghĩa tương tự cho điểm $L$
Ta có $IA^2-IC^2=IA^2-KC^2-IK^2=-KC^2$
tương tự $JA^2-JC^2=-JC^2$
mà hiển nhiên $KC=LC$ từ đó suy ra điều phải chứng minh
Thứ Hai, 7 tháng 11, 2016
Bài tập đội tuyển thi vòng 2 tỉnh Cà Mau
$\boxed{Bài toán}$ : cho đường tròn tâm (O) và 1 dây cung AB cố định không là đường kính. Một điểm P thay đổi trên cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của AB. Lấy các điểm M,N trên các tia PA,PB tương ứng sao cho $\widehat{PMI}=\widehat{PNI}=\widehat{APB}$
a) Chứng minh đường cao kẻ từ đỉnh P của tam giác PMN đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh đường thẳng Euler của tam giác PMN đi qua 1 điểm cố định
Lời giải của mình
đặt $MI\cap PA=H, NI\cap PB=G$
a) gọi E là tâm ngoại tiếp của tam giác OAB, ta dễ thấy được là tứ giác MIEG và tứ giác EIHA nội tiếp từ đó suy ra được $\widehat{MGE}=\widehat{NHE}=90^{o}$ suy ra tứ giác PGEH nội tiếp đường tròn đường kính PE
mà do MN đối song GH nên ta suy ra PE vuông góc MN từ đó có đpcm
b) ta dễ thấy rằng trực tâm của tam giác PGH sẽ là tâm ngoại tiếp tam giác PMN.
do đó gọi trực tâm PMN, PGH lần lượt là L,C
đặt $ML\cap PA= R, NL\cap PB=S$ thì ta dễ thấy rằng L,C sẽ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (SGN) và (MRH), mà do tứ giác MNGH nội tiếp nên I cũng thuộc trục đẳng phương này
do đó đường thẳng euler của tam giác PMN luôn đi qua I cố định
p/s: bài toán b thực chất là bài toán về hai trực tâm rất hay được viết trong TLCT 10
hình vẽ bài toán
a) Chứng minh đường cao kẻ từ đỉnh P của tam giác PMN đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh đường thẳng Euler của tam giác PMN đi qua 1 điểm cố định
Lời giải của mình
đặt $MI\cap PA=H, NI\cap PB=G$
a) gọi E là tâm ngoại tiếp của tam giác OAB, ta dễ thấy được là tứ giác MIEG và tứ giác EIHA nội tiếp từ đó suy ra được $\widehat{MGE}=\widehat{NHE}=90^{o}$ suy ra tứ giác PGEH nội tiếp đường tròn đường kính PE
mà do MN đối song GH nên ta suy ra PE vuông góc MN từ đó có đpcm
b) ta dễ thấy rằng trực tâm của tam giác PGH sẽ là tâm ngoại tiếp tam giác PMN.
do đó gọi trực tâm PMN, PGH lần lượt là L,C
đặt $ML\cap PA= R, NL\cap PB=S$ thì ta dễ thấy rằng L,C sẽ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (SGN) và (MRH), mà do tứ giác MNGH nội tiếp nên I cũng thuộc trục đẳng phương này
do đó đường thẳng euler của tam giác PMN luôn đi qua I cố định
p/s: bài toán b thực chất là bài toán về hai trực tâm rất hay được viết trong TLCT 10
Thứ Tư, 2 tháng 11, 2016
sad day
Mình còn nhớ lý do đầu tiên khiến mình để ý tới môn toán là tấm huy chương, lúc đó còn là lớp 2, thấy chị gì đó lên nhận huy chương đồng toán tuổi thơ, nhìn thấy thích lắm, rốt cuộc là năm đó dốc sức học thật tốt môn toán, còn mua cuốn tính nhanh với giáo sư cáo nữa, nhưng một năm sau thì mục tiêu đã bắt đầu mờ dần vì lười quá, rồi dần dần quên luôn. Rồi lên năm lớp 4, mọi chuyện bắt đầu từ đây, bắt đầu cảm nhận được cái thú vị của toán, đọc mấy bài toán đố thấy thích lắm, rồi lên lớp 5, cô kêu đi thi, lúc đó chả biết gì hết, cứ biết đi thi là được cúp học như đi vở sạch chữ đẹp, vô đó cho làm bài kiểm tra, chả hiểu gì hết, cứ thấy đề là làm đại, rồi mai mốt mới biết mình là một trong 6 người được chọn thi toán vòng tỉnh. Rồi sau đó thì ngày nào cũng kêu lên luyện thi, lúc đó chẳng biết bị gì mà rất ghét đi học bồi dưỡng, thậm chí còn tính trốn, nhưng rồi cũng bị bắt. Rồi cuối cùng cũng đậu vào top 6 được đi thi quốc gia, lúc đó còn tính xin nghỉ nữa chứ, nghĩ lại hài thật, lên tới Lào Cai, đi chơi không, không ôn gì hết. Và tất nhiên kết quả là rớt thảm hại, khi đó chỉ biết mình rớt thì rất là buồn, cũng không biết mình vừa thi cái gì. Từ đó lại cạch mặt toán nữa. Thậm chí đến khi lên lớp 6, cô kêu lên bảng làm bài mà hồi ôn thi làm rồi cũng cố tình làm sai, chẳng biết để làm gì. Rồi lên lớp 8, trong một lần hỏi ngu thánh toán của lớp, rồi nó cũng cho bài mình làm, dần dần thì nó cho cả cuốn Nâng Cao Phát Triển của Vũ Hữu Bình, nhận được thấy thích lắm, đi photo rồi cũng bắt chước người ta ngồi đọc, rồi làm bài trong đó, càng làm càng thấy thích. Rồi tới HKII, nghe lời thánh kia đăng kí vào bồi dưỡng toán, ban đầu oải lắm, trong đó toàn thánh không, nhưng rồi dần dần cũng bắt kịp với tụi nó. Nhưng lớp 8 thì cũng không có thi gì nên cũng khá chán.
Tới hè, tiếp tục nghe lời thánh kia đăng kí vào lớp Casio. Một, hai bữa đầu thấy nó viết cái quy trình mà mắc mệt, chán, không học, tới lúc thi tuyển Casio thì trốn khỏi trường luôn. Rồi lúc nhận kết quả đội bồi dưỡng toán thì mình đậu, cô thấy vậy thì kêu mình đi casio luôn, lúc đó chẳng hiểu trời xui đất khiến kiểu gì mà đi lên ghi tên, cuối cùng thì được tham dự lớp casio không qua thi tuyển với con mắt kì thị của tụi kia he he.
Vậy là hết hè, lên lớp 9, lúc này quyết định tạo facebook theo thằng thánh, lên đó mới thấy mấy nhóm toán trên mạng, lúc đó mới được mở rộng tầm mắt, biết mình nhỏ bé bao nhiêu, rồi mới bắt đầu tham gia diendantoanhoc lên đó chém gió này nọ. Rồi được thi thành phố, tỉnh này nọ, cũng được giải, nhờ thằng thánh ôn cho hết, nhưng quan trọng là thi casio. ban đầu vòng thành phố thì làm định cho qua thôi, ai ngờ lại đậu, rồi cũng quyết tâm ôn lắm, tới vòng 2 thì được giải nhất, vui quá trời, nghe thằng thánh nói là thi vòng tỉnh nếu đậu cao nữa thì được lên qg luôn. Lúc đó nghe qg oách lắm, với lại muốn báo thù cái vụ lớp 5 nên quyết tâm làm cho được. Rồi tới thi vòng tỉnh, lần này khác hẳn với những lần trước, rất muốn đậu. Sau đó đọc đề thì chỉ bí một bài, lúng túng hết cả lên, làm loạn xạ, nhưng nghĩ là chỉ bỏ 1 bài thì sao rớt được. Vâng, phát ra thì được 9/25. Lúc đó hoàn toàn bị khủng hoảng, suốt 2 tuần liền không biết làm gì, không biết mình làm sai gì, không biết tại mình dở hay không, hoàn toàn vô định, không một hướng đi.Cuối cùng thì cũng vượt qua được nhờ cuộc thi violympic, cũng bình tâm lại được chút. Nhưng thật sự hôm nay, lịch sử đã lặp lại, thằng thánh tuốt trên bàn 1, la lên là có kết quả rồi, thằng ngồi kế cũng có điện thoại nên cũng mượn nó coi thử. Lúc đó chỉ muốn nín thở, chỉ mong là được giải ba trở lên để được vào vòng hai, mỗi % tải về là thêm 1 nỗi lo, cuối cùng thì tải không được, thằng thánh ngồi trên đọc kết quả luôn. Kết quả mình khuyến khích, lúc đó như trời sập, không tin được vào tai mình, thiếu 0,5 là được vào vòng 2,... trong khi những đứa mà ... thôi đó lại là một chuyện khác. Chiều nay lần đầu tiên không đi học bồi dưỡng mà học thể dục, nhìn tụi kia học, chả biết nên trách ai, trách bản thân quá dở hay là tại số phận mình đã như vậy. Thật sự là quá chán, rất muốn đi học, trong năm học cấp 3 này, học bồi dưỡng với chuyên đề như cứu rỗi mình, vì những giờ đó mình mới thấy thích thú thật sự, trớ trêu làm sao, đứa muốn học thì lại không được học. Chưa bao giờ thất vọng về bản thân như lúc này, tuần trước ngày nào cũng háo hức đi ôn bài suốt 5 tiết, ở lại tới khi thư viện đóng cửa cũng không chịu đi nữa, chỉ tại mình cố gắng nửa vời hay tại mình nhọ. Không biết con đường tiếp theo sẽ đi về đâu, mấy đứa khác cứ động viên còn năm sau mà, gáng lên nhưng tụi nó đâu biết là năm sau liệu mình còn được ở đây không, còn được đi thi không khi mà thi đại học đang gần kề. Có lẽ,mình sẽ phải đi lên thành phố, cũng có lẽ hôm nay chính là ngày cuối cùng mình được làm toán với niềm vui. Hi vọng sẽ không phải xa mày, cái thú vui luôn đi cùng tao từ nhỏ tới bây giờ ...
Tới hè, tiếp tục nghe lời thánh kia đăng kí vào lớp Casio. Một, hai bữa đầu thấy nó viết cái quy trình mà mắc mệt, chán, không học, tới lúc thi tuyển Casio thì trốn khỏi trường luôn. Rồi lúc nhận kết quả đội bồi dưỡng toán thì mình đậu, cô thấy vậy thì kêu mình đi casio luôn, lúc đó chẳng hiểu trời xui đất khiến kiểu gì mà đi lên ghi tên, cuối cùng thì được tham dự lớp casio không qua thi tuyển với con mắt kì thị của tụi kia he he.
Vậy là hết hè, lên lớp 9, lúc này quyết định tạo facebook theo thằng thánh, lên đó mới thấy mấy nhóm toán trên mạng, lúc đó mới được mở rộng tầm mắt, biết mình nhỏ bé bao nhiêu, rồi mới bắt đầu tham gia diendantoanhoc lên đó chém gió này nọ. Rồi được thi thành phố, tỉnh này nọ, cũng được giải, nhờ thằng thánh ôn cho hết, nhưng quan trọng là thi casio. ban đầu vòng thành phố thì làm định cho qua thôi, ai ngờ lại đậu, rồi cũng quyết tâm ôn lắm, tới vòng 2 thì được giải nhất, vui quá trời, nghe thằng thánh nói là thi vòng tỉnh nếu đậu cao nữa thì được lên qg luôn. Lúc đó nghe qg oách lắm, với lại muốn báo thù cái vụ lớp 5 nên quyết tâm làm cho được. Rồi tới thi vòng tỉnh, lần này khác hẳn với những lần trước, rất muốn đậu. Sau đó đọc đề thì chỉ bí một bài, lúng túng hết cả lên, làm loạn xạ, nhưng nghĩ là chỉ bỏ 1 bài thì sao rớt được. Vâng, phát ra thì được 9/25. Lúc đó hoàn toàn bị khủng hoảng, suốt 2 tuần liền không biết làm gì, không biết mình làm sai gì, không biết tại mình dở hay không, hoàn toàn vô định, không một hướng đi.Cuối cùng thì cũng vượt qua được nhờ cuộc thi violympic, cũng bình tâm lại được chút. Nhưng thật sự hôm nay, lịch sử đã lặp lại, thằng thánh tuốt trên bàn 1, la lên là có kết quả rồi, thằng ngồi kế cũng có điện thoại nên cũng mượn nó coi thử. Lúc đó chỉ muốn nín thở, chỉ mong là được giải ba trở lên để được vào vòng hai, mỗi % tải về là thêm 1 nỗi lo, cuối cùng thì tải không được, thằng thánh ngồi trên đọc kết quả luôn. Kết quả mình khuyến khích, lúc đó như trời sập, không tin được vào tai mình, thiếu 0,5 là được vào vòng 2,... trong khi những đứa mà ... thôi đó lại là một chuyện khác. Chiều nay lần đầu tiên không đi học bồi dưỡng mà học thể dục, nhìn tụi kia học, chả biết nên trách ai, trách bản thân quá dở hay là tại số phận mình đã như vậy. Thật sự là quá chán, rất muốn đi học, trong năm học cấp 3 này, học bồi dưỡng với chuyên đề như cứu rỗi mình, vì những giờ đó mình mới thấy thích thú thật sự, trớ trêu làm sao, đứa muốn học thì lại không được học. Chưa bao giờ thất vọng về bản thân như lúc này, tuần trước ngày nào cũng háo hức đi ôn bài suốt 5 tiết, ở lại tới khi thư viện đóng cửa cũng không chịu đi nữa, chỉ tại mình cố gắng nửa vời hay tại mình nhọ. Không biết con đường tiếp theo sẽ đi về đâu, mấy đứa khác cứ động viên còn năm sau mà, gáng lên nhưng tụi nó đâu biết là năm sau liệu mình còn được ở đây không, còn được đi thi không khi mà thi đại học đang gần kề. Có lẽ,mình sẽ phải đi lên thành phố, cũng có lẽ hôm nay chính là ngày cuối cùng mình được làm toán với niềm vui. Hi vọng sẽ không phải xa mày, cái thú vui luôn đi cùng tao từ nhỏ tới bây giờ ...
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)