bổ đề về đường tròn nội tiếp tam giác

$\boxed{bài \space toán \space 1}$ cho $\triangle{ABC}$ ngoại tiếp đường tròn (I), tiếp điểm của BC,CA,AB với (I) lần lượt là D,E,F. H là trung điểm EF, đặt $G= CH \cap DF $. chứng minh $ AG \parallel EF$

lời giải của mình

gọi giao của BH,CH với AC,AB lần lượt là M,L
từ M kẻ tiếp tuyến với (I) cắt AB tại L' thì ta có MB,LC,EF đồng quy hay C,H,L' thẳng hàng
do đó$ L\equiv L' \Rightarrow ML$ tiếp xúc với (I)
theo tính chất của tứ giác ngoại tiếp thì G thuộc đường đối cực của H
hay G thuộc đường thẳng qua A và $\parallel EF $

$\boxed { Bài \space toán \space 2 }$: từ D kẻ đường kính DG của (I) , đặt $H=GE \cap DF $ chứng minh $AH \parallel BC$

 lời giải  

đặt $ J =GD\cap EF$ 

xét cực và đối cực với (I) 

H thuộc đường đối cực của J 

mà A thuộc đường đối cực của J

suy ra AH vuông góc với IJ, hay $AH\parallel BC$

$boxed{Bài \space toán \space 3} từ D kẻ đường kính DG của (I) cắt EF tại J, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng A,J,M thẳng hàng

lời giải

gọi d là đường đối cực của J đối với (I), ta có A(d,J,F,E ) là chùm điều hòa

 mà dễ thấy d đi qua A và $\parallel BC$ 

do đó AJ đi qua trung điểm BC, ta có đpcm