mở rộng nhỏ về phép đối xứng tâm

tích của $2n+1(n \in \mathbb{N})$ phép đối xứng tâm với $2n+1$ tâm đối xứng phân biệt là một phép đối xứng tâm
ta sẽ chứng minh theo phương pháp quy nạp
đầu tiên ta sẽ chứng minh với trường hợp n=1, tức là tích của 3 phép đối xứng tâm
gọi $ A,B,C$ là ba tâm đối xứng của các phép đối xứng $D_A,D_B,D_C$ và đặt $D=D_A o D_B o D_C$
ta lấy $O$ sao cho $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ theo định nghĩa ta có
$D_A:O \mapsto O_1 \implies \overrightarrow{AO_1}=-\overrightarrow{AO} \\
D_B:O_1 \mapsto O_2 \implies \overrightarrow{BO_1}=-\overrightarrow{BO_2} \\
D_C:O_2 \mapsto O_3 \implies \overrightarrow{CO_2}=-\overrightarrow{CO_3} \\
\implies \overrightarrow{AO_1}-\overrightarrow{BO_1}+\overrightarrow{CO_3}=-\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO_2}-\overrightarrow{CO_2}\\ \Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CO_3}=-\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BC}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{CO_3}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CO} \Leftrightarrow O\equiv O_3$
vậy $O$ là điểm bất động của của $D$, giả sử M là một điểm bất kì ta có
$D_A:M\mapsto M_1,O \mapsto O_1 \implies \overrightarrow{M_1O_1}=-\overrightarrow{MO} \\
D_B:M_1\mapsto M_2,O_1 \mapsto O_2 \implies \overrightarrow{M_1O_1}=-\overrightarrow{M_2O_2} \\
D_C:M_2\mapsto M_3,O_2 \mapsto O \implies \overrightarrow{M_2O_2}=-\overrightarrow{M_3O} \\
\implies \overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{M_3O} $
vậy D là phép đối xứng tâm O, trong đó O được xác định bởi $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$
(-Tham khảo từ tài liệu chuyên toán hình học 10)
giả sử mệnh đề đã cho đúng với $n=k$ ta cần chứng minh mệnh đề đã cho đúng với $n=k+1$
gọi các phép đối xứng tâm lần lượt là $D_1,D_2,...,D_{2k+3}$ , và tích của $2k+1$ đối xứng tâm là phép đối xứng $D$
vậy tích của $2k+3$ phép đối xứng tâm là tích của $D$ và $D_{2k+2},D{2k+3}$ mà tích của ba phép đx tâm là 1 phép đối xứng tâm (cmt) vậy mệnh đề đã cho đúng