một dạng giống với phương trình Diophante

Chứng minh phương trình$ x+y=g $với $(x,y)=l$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $l | g$
hiển nhiên phương trình có nghiệm thì $l|g$, ta chứng minh điều kiện đủ:
đặt $x=lx_1,y=ly_1,g=lg_1$ ta có $x_1+y_1=g_1$ với $(x_1,y_1)=1$
ta chọn $x_1=1$ $y_1=g_1-1$ thì suy ra ngay điều phải chứng minh

bổ đề về đường đẳng giác

$\boxed{Bồ \space đề \space 1}$: Cho $\triangle ABC, AP$ và $AQ$ đẳng giác trong góc $A$, đặt $X=BP\cap CQ, Y=BQ\cap CP$, khi đó $AX,AY$ đẳng giác trong góc $A$
Chứng minh:
đặt $CX\cap AB=N, CY\cap AC=M$
ta có $(CPYM)=(CXQN)$
suy ra $ A(CPYB)=A(CXQB)$
từ đây, gọi giao điểm với $BC$ và áp dụng định lí Steiner ta dễ thấy đpcm
 Định lý 1 (Định lý Steiner). Cho tam giác ABC và hai điểm D, E trên cạnh BC. Khi đó,
AD và AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC khi và chỉ khi:
$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=\frac{AB^2}{AC^2}$

$\boxed{Bổ\space đề \space 2 }:$ cho $\triangle{ABC}$ $H$ nằm trong $\triangle$ sao cho $\widehat{HBA}=\widehat{HCA}$,$H'$ đối xứng $H$ qua trung điểm $BC$.Chứng minh $AH$,$AH'$ đẳng giác trong góc$ A$ 
Chứng minh: 
kẻ $HP,H'N \perp AC, HQ,H'M \perp AB$ dễ thấy $\triangle{APQ} \sim \triangle{AMN}$ suy ra đpcm