bổ đề liên quan đến phương tích

cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, AC cắt BD tại G, M là trung điểm của EF
khi đó 

1. $GE^2=P_{G/(O)}+P_{E/(O)}$
2. $EF^2= P_{F/(O)}+P_{E/(O)}$
3. $P_{M/(O)}=ME^2=MF^2$

chứng minh:
  1. ta có G thuộc đường đối cực của E với (O) nên ta đưa về bài toán sau:
Cho B thuộc đường đối cực của A với (O) ($A \notin (O)). Chứng minh:$ AB^2=P_{A/(O)}+P_{B/(O)}$
giả sử điểm A nằm ngoài (O), từ A kẻ các tiếp tuyến AD, AE với (O)
Áp dụng định lí Stewart ta có : 
$AD^2.\overline{BE}+AE^2.\overline{DB}+AB^2.\overline{ED}+\overline{DB}.\overline{BE}.\overline{ED}=0 \\ \Leftrightarrow P_{A/(O)}(\overline{BE}+\overline{DB})+AB^2.\overline{ED}-P_{B/(O)}.\overline{ED}=0 \\ \Leftrightarrow AB^2=P_{A/(O)}+P_{B/(O)}$

3.áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác OEF ta có :
$2OM^2=OE^2+OF^2-\frac{EF^2}{2}\\ \Leftrightarrow 2OM^2=OE^2+OF^2-\frac{1}{2}(OE^2+OF^2-2R^2)(theo \space 2) \\ \Leftrightarrow OM^2-R^2=\frac{1}{4}(OE^2+OF^2-2R^2)=\frac{1}{4}(P_{E/(O)}+P_{F/(O)})=MB^2$
vậy ta có đpcm