khi đó
- GE^2=P_{G/(O)}+P_{E/(O)}
- EF^2= P_{F/(O)}+P_{E/(O)}
- P_{M/(O)}=ME^2=MF^2
1. ta có G thuộc đường đối cực của E với (O) nên ta đưa về bài toán sau:
Cho B thuộc đường đối cực của A với (O) ( A \notin (O)). Chứng minh: AB^2=P_{A/(O)}+P_{B/(O)}$
giả sử điểm A nằm ngoài (O), từ A kẻ các tiếp tuyến AD, AE với (O)
Áp dụng định lí Stewart ta có :
AD^2.\overline{BE}+AE^2.\overline{DB}+AB^2.\overline{ED}+\overline{DB}.\overline{BE}.\overline{ED}=0 \\ \Leftrightarrow P_{A/(O)}(\overline{BE}+\overline{DB})+AB^2.\overline{ED}-P_{B/(O)}.\overline{ED}=0 \\ \Leftrightarrow AB^2=P_{A/(O)}+P_{B/(O)}
3.áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác OEF ta có :
2OM^2=OE^2+OF^2-\frac{EF^2}{2}\\ \Leftrightarrow 2OM^2=OE^2+OF^2-\frac{1}{2}(OE^2+OF^2-2R^2)(theo \space 2) \\ \Leftrightarrow OM^2-R^2=\frac{1}{4}(OE^2+OF^2-2R^2)=\frac{1}{4}(P_{E/(O)}+P_{F/(O)})=MB^2
vậy ta có đpcm