mô hình của hàng điểm điều hoà

$\boxed {Bài toán}$ : Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến của (O) tại C,A và đường thẳng AC lần lượt cắt tiếp tuyến tại B tại D,E và F.Chứng minh (BFDE) =-1

định lý về đường tròn Apollonius

 Trong một tam giác
Định lí 1: Mỗi đường tròn Apollonius của một đỉnh thì trực giao với đường tròn có đường kính là cạnh đối diện với đỉnh đó.
Định lí 2: Ba đường tròn Apollonius ứng với 3 đỉnh cùng đi qua 2 điểm, đường thẳng nối 2 điểm đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác
Định lí 3: Mỗi đường tròn Appllonius trực giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác


chứng minh 
 Ta có các định nghĩa:
ĐN1:Hai đường tròn (O,R) và (O',R') trực giao nếu $ R^2+{R'}^2={OO'}^2 $ 
ĐN2: Hai điểm M và N gọi là liên hiệp với nhau qua đường tròn (O,R) nếu (O,R) trực giao với đường tròn đường kính MN
Tính chất : Cho hai điểm M,N không thuộc (O,R) đường thẳng MN cắt (O,R) tại A và B.Khi đó M và N liên hiệp với nhau qua (O,R) khi và chỉ khi $ (MNAB) =-1$   
gọi AD,AE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của $\triangle{ABC}$ và đường tròn (C) là đường tròn Apollonius ứng với đỉnh A của $\triangle{ABC}$ 
ta có $(DEBC)=-1$ nên BC liên hợp với nhau qua (C), vì vậy tất cả các đường tròn qua B và C đều trực giao với (C) , vậy định lí 1 và 3 được chứng minh

hình 1 

 chứng minh định lí 2:
1) gọi K là giao của hai đường tròn Apollonius ứng với hai đỉnh A và B, 
theo định nghĩa ta có $\frac{KA}{KC}=\frac{BA}{BC}$ và $\frac{KB}{KC}=\frac{AB}{AC}$
$ \implies \frac{KA}{KB}=\frac{CA}{CB} \implies K \in $ đường tròn Apollonius ứng với điểm C.
Vậy ba đường tròn Apollonius đều đi qua 2 điểm K và L
2) theo định lí 3 thì phương tích của O với ba đường tròn Apollonius đều bằng bán kính của (O), vậy (O) thuộc trục đẳng phương của cả ba đường tròn Apollonius hay O,K,L thẳng hàng 

hình 2